Propriétés de finitude et compatibilité locale-globale d’un foncteur pour le programme de Langlands mod p

Abstract: Le programme de Langlands mod $p$, évolué à partir de la preuve de la conjecture de Shimura-Taiyama-Weil (par Breuil-Conrad-Diamond-Taylor) et à la base de la preuve de la conjecture de Fontaine-Mazur (Kisin, Emerton, Pan), a été realisée dans le cas particulier de $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$ grâce à une vaste convergence d'outils nouveaux, (classification des représentations mod $p$ de $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$, technique de déformations galoisiennes locales, arguments de compatibilité locale-globale).

Un parmi les outils les plus inattendus a été la construction, par Colmez, d'un $\large\textit{foncteur}$ réalisant la correspondance, obtenu en traduisant les actions lisses de certains sous-groupes de $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$ en termes des $(\phi,\Gamma)$-modules (donc, à travers la théorie de Fontaine, en termes de représentations Galoisiennes $p$-adiques).

Sa construction dépend de manière cruciale sur la classification explicite des représentations lisses mod $p$ de $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$ et de leurs propriétés de finitude, deux résultats qui manquent (et qui sont faux même !) déjà pour $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_{p^f})$.

Depuis la conférence de Montréal du 2007, plusieurs généralisation de ce foncteur ont été proposée, mais leurs propriété basiques (e.g. le fait que le foncteur est non-nul sur les représentations cuspidales, qui produit des représentations Galoisiennes de dimension finie, qui est compatible à la cohomologie, etc...) étaient inconnues.

Après un rappel des conjectures sur la structure des espaces Hecke-isotypiques (à niveau infini en $p$) des groupes unitaires, nous démontrons que la généralisation du foncteur proposée par Breuil produit dans le cas des courbes de Shimura les « bonnes » représentations galoisiennes, notamment les inductions tensorielles du paramètre galoisien local.

Il s'agit d'un travail en commun avec C. Breuil, F. Herzig, Y. Hu et B. Schraen.

Frenchalgebraic geometrynumber theory

Audience: researchers in the topic

Séminaire de géométrie arithmétique et motivique (Paris Nord)